Производная sin(pi*t)^(2)

Вы ввели

   2      
sin (pi*t)

$$\sin^{2}{\left (\pi t \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin{\left (\pi t \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d t} \sin{\left (\pi t \right )}$:

   1. Заменим $u = \pi t$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d t}\left(\pi t\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $t$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $\pi$

      В результате последовательности правил:

      $\pi \cos{\left (\pi t \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $2 \pi \sin{\left (\pi t \right )} \cos{\left (\pi t \right )}$

4. Теперь упростим:

   $\pi \sin{\left (2 \pi t \right )}$

---

Ответ:

$\pi \sin{\left (2 \pi t \right )}$

Первая производная

2*pi*cos(pi*t)*sin(pi*t)

$$2 \pi \sin{\left (\pi t \right )} \cos{\left (\pi t \right )}$$

Вторая производная

    2 /   2            2      \
2*pi *\cos (pi*t) - sin (pi*t)/

$$2 \pi^{2} \left(- \sin^{2}{\left (\pi t \right )} + \cos^{2}{\left (\pi t \right )}\right)$$

Третья производная

     3                    
-8*pi *cos(pi*t)*sin(pi*t)

$$- 8 \pi^{3} \sin{\left (\pi t \right )} \cos{\left (\pi t \right )}$$