Производная sin(pi*x/4)^(2)

Вы ввели

   2/pi*x\
sin |----|
    \ 4  /

$$\sin^{2}{\left (\frac{\pi x}{4} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin{\left (\frac{\pi x}{4} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (\frac{\pi x}{4} \right )}$:

   1. Заменим $u = \frac{\pi x}{4}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{\pi x}{4}\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $\pi$

         Таким образом, в результате: $\frac{\pi}{4}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\pi}{4} \cos{\left (\frac{\pi x}{4} \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{\pi}{2} \sin{\left (\frac{\pi x}{4} \right )} \cos{\left (\frac{\pi x}{4} \right )}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{\pi}{4} \sin{\left (\frac{\pi x}{2} \right )}$

---

Ответ:

$\frac{\pi}{4} \sin{\left (\frac{\pi x}{2} \right )}$

Первая производная

      /pi*x\    /pi*x\
pi*cos|----|*sin|----|
      \ 4  /    \ 4  /
----------------------
          2           

$$\frac{\pi}{2} \sin{\left (\frac{\pi x}{4} \right )} \cos{\left (\frac{\pi x}{4} \right )}$$

Вторая производная

  2 /   2/pi*x\      2/pi*x\\
pi *|cos |----| - sin |----||
    \    \ 4  /       \ 4  //
-----------------------------
              8              

$$\frac{\pi^{2}}{8} \left(- \sin^{2}{\left (\frac{\pi x}{4} \right )} + \cos^{2}{\left (\frac{\pi x}{4} \right )}\right)$$

Третья производная

   3    /pi*x\    /pi*x\ 
-pi *cos|----|*sin|----| 
        \ 4  /    \ 4  / 
-------------------------
            8            

$$- \frac{\pi^{3}}{8} \sin{\left (\frac{\pi x}{4} \right )} \cos{\left (\frac{\pi x}{4} \right )}$$