Производная sin(10/tan(x))

Вы ввели

   /  10  \
sin|------|
   \tan(x)/

$$\sin{\left (\frac{10}{\tan{\left (x \right )}} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{10}{\tan{\left (x \right )}}$.

2. Производная синуса есть косинус:

   $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{10}{\tan{\left (x \right )}}\right)$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = \tan{\left (x \right )}$.

      2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )}$:

         1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

            Один из способов:

            1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}$

      Таким образом, в результате: $- \frac{10 \sin^{2}{\left (x \right )} + 10 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{10 \cos{\left (\frac{10}{\tan{\left (x \right )}} \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)$

4. Теперь упростим:

   $\frac{20 \cos{\left (\frac{10}{\tan{\left (x \right )}} \right )}}{\cos{\left (2 x \right )} - 1}$

---

Ответ:

$\frac{20 \cos{\left (\frac{10}{\tan{\left (x \right )}} \right )}}{\cos{\left (2 x \right )} - 1}$

Первая производная

   /        2   \    /  10  \
10*\-1 - tan (x)/*cos|------|
                     \tan(x)/
-----------------------------
              2              
           tan (x)           

$$\frac{10 \cos{\left (\frac{10}{\tan{\left (x \right )}} \right )}}{\tan^{2}{\left (x \right )}} \left(- \tan^{2}{\left (x \right )} - 1\right)$$

Вторая производная

                 /                /       2   \    /  10  \     /       2   \    /  10  \\
                 |                \1 + tan (x)/*cos|------|   5*\1 + tan (x)/*sin|------||
   /       2   \ |     /  10  \                    \tan(x)/                      \tan(x)/|
20*\1 + tan (x)/*|- cos|------| + ------------------------- - ---------------------------|
                 |     \tan(x)/               2                            3             |
                 \                         tan (x)                      tan (x)          /
------------------------------------------------------------------------------------------
                                          tan(x)                                          

$$\frac{20}{\tan{\left (x \right )}} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(- \frac{5 \sin{\left (\frac{10}{\tan{\left (x \right )}} \right )}}{\tan^{3}{\left (x \right )}} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + \frac{\cos{\left (\frac{10}{\tan{\left (x \right )}} \right )}}{\tan^{2}{\left (x \right )}} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) - \cos{\left (\frac{10}{\tan{\left (x \right )}} \right )}\right)$$

Третья производная

                 /                                                                2                                                             2                               2            \
                 |                     /       2   \    /  10  \     /       2   \     /  10  \     /       2   \    /  10  \      /       2   \     /  10  \      /       2   \     /  10  \|
                 |                  30*\1 + tan (x)/*sin|------|   3*\1 + tan (x)/ *cos|------|   5*\1 + tan (x)/*cos|------|   30*\1 + tan (x)/ *sin|------|   50*\1 + tan (x)/ *cos|------||
   /       2   \ |       /  10  \                       \tan(x)/                       \tan(x)/                      \tan(x)/                        \tan(x)/                        \tan(x)/|
20*\1 + tan (x)/*|- 2*cos|------| - ---------------------------- - ---------------------------- + --------------------------- + ----------------------------- + -----------------------------|
                 |       \tan(x)/                3                              4                              2                              5                               6              |
                 \                            tan (x)                        tan (x)                        tan (x)                        tan (x)                         tan (x)           /

$$20 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(\frac{30 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\tan^{5}{\left (x \right )}} \sin{\left (\frac{10}{\tan{\left (x \right )}} \right )} - \frac{3 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\tan^{4}{\left (x \right )}} \cos{\left (\frac{10}{\tan{\left (x \right )}} \right )} + \frac{50 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\tan^{6}{\left (x \right )}} \cos{\left (\frac{10}{\tan{\left (x \right )}} \right )} - \frac{30 \sin{\left (\frac{10}{\tan{\left (x \right )}} \right )}}{\tan^{3}{\left (x \right )}} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + \frac{5 \cos{\left (\frac{10}{\tan{\left (x \right )}} \right )}}{\tan^{2}{\left (x \right )}} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) - 2 \cos{\left (\frac{10}{\tan{\left (x \right )}} \right )}\right)$$