Производная sin(cos(x))^(-1)

Вы ввели

     1     
-----------
sin(cos(x))

$$\frac{1}{\sin{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}$:

   1. Заменим $u = \cos{\left (x \right )}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $- \sin{\left (x \right )} \cos{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{\sin{\left (x \right )} \cos{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}}{\sin^{2}{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{\sin{\left (x \right )} \cos{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}}{\sin^{2}{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}}$

Первая производная

cos(cos(x))*sin(x)
------------------
      2           
   sin (cos(x))   

$$\frac{\sin{\left (x \right )} \cos{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}}{\sin^{2}{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}}$$

Вторая производная

                                    2            2   
   2      cos(x)*cos(cos(x))   2*cos (cos(x))*sin (x)
sin (x) + ------------------ + ----------------------
             sin(cos(x))               2             
                                    sin (cos(x))     
-----------------------------------------------------
                     sin(cos(x))                     

$$\frac{1}{\sin{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}}{\sin^{2}{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}} + \frac{\cos{\left (x \right )} \cos{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}}{\sin{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}}\right)$$

Третья производная

/                              2                       2                       3            2   \       
|           cos(cos(x))   5*sin (x)*cos(cos(x))   6*cos (cos(x))*cos(x)   6*cos (cos(x))*sin (x)|       
|3*cos(x) - ----------- + --------------------- + --------------------- + ----------------------|*sin(x)
|           sin(cos(x))        sin(cos(x))                2                       3             |       
\                                                      sin (cos(x))            sin (cos(x))     /       
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                              sin(cos(x))                                               

$$\frac{\sin{\left (x \right )}}{\sin{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}} \left(\frac{5 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}}{\sin{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}} + \frac{6 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos^{3}{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}}{\sin^{3}{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}} + 3 \cos{\left (x \right )} - \frac{\cos{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}}{\sin{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}} + \frac{6 \cos{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}}{\sin^{2}{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}}\right)$$