Производная sin(cbrt(x))

Вы ввели

   /3 ___\
sin\\/ x /

$$\sin{\left (\sqrt[3]{x} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sqrt[3]{x}$.

2. Производная синуса есть косинус:

   $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sqrt[3]{x}$:

   1. В силу правила, применим: $\sqrt[3]{x}$ получим $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{\cos{\left (\sqrt[3]{x} \right )}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

---

Ответ:

$\frac{\cos{\left (\sqrt[3]{x} \right )}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Первая производная

   /3 ___\
cos\\/ x /
----------
     2/3  
  3*x     

$$\frac{\cos{\left (\sqrt[3]{x} \right )}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$$

Вторая производная

 /     /3 ___\             \ 
 |2*cos\\/ x /      /3 ___\| 
-|------------ + sin\\/ x /| 
 |   3 ___                 | 
 \   \/ x                  / 
-----------------------------
               4/3           
            9*x              

$$- \frac{1}{9 x^{\frac{4}{3}}} \left(\sin{\left (\sqrt[3]{x} \right )} + \frac{2}{\sqrt[3]{x}} \cos{\left (\sqrt[3]{x} \right )}\right)$$

Третья производная

     /3 ___\        /3 ___\         /3 ___\
  cos\\/ x /   6*sin\\/ x /   10*cos\\/ x /
- ---------- + ------------ + -------------
       2            7/3             8/3    
      x            x               x       
-------------------------------------------
                     27                    

$$\frac{1}{27} \left(- \frac{1}{x^{2}} \cos{\left (\sqrt[3]{x} \right )} + \frac{6}{x^{\frac{7}{3}}} \sin{\left (\sqrt[3]{x} \right )} + \frac{10}{x^{\frac{8}{3}}} \cos{\left (\sqrt[3]{x} \right )}\right)$$