Производная sin(log(x))/x

Вы ввели

sin(log(x))
-----------
     x     

$$\frac{1}{x} \sin{\left (\log{\left (x \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \sin{\left (\log{\left (x \right )} \right )}$ и $g{\left (x \right )} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \log{\left (x \right )}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (x \right )}$:

      1. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

      В результате последовательности правил:

      $\frac{1}{x} \cos{\left (\log{\left (x \right )} \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(- \sin{\left (\log{\left (x \right )} \right )} + \cos{\left (\log{\left (x \right )} \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{\sqrt{2}}{x^{2}} \cos{\left (\log{\left (x \right )} + \frac{\pi}{4} \right )}$

---

Ответ:

$\frac{\sqrt{2}}{x^{2}} \cos{\left (\log{\left (x \right )} + \frac{\pi}{4} \right )}$

Первая производная

cos(log(x))   sin(log(x))
----------- - -----------
      2             2    
     x             x     

$$- \frac{1}{x^{2}} \sin{\left (\log{\left (x \right )} \right )} + \frac{1}{x^{2}} \cos{\left (\log{\left (x \right )} \right )}$$

Вторая производная

-3*cos(log(x)) + sin(log(x))
----------------------------
              3             
             x              

$$\frac{1}{x^{3}} \left(\sin{\left (\log{\left (x \right )} \right )} - 3 \cos{\left (\log{\left (x \right )} \right )}\right)$$

Третья производная

10*cos(log(x))
--------------
       4      
      x       

$$\frac{10}{x^{4}} \cos{\left (\log{\left (x \right )} \right )}$$