Производная sin(log(x^2+1))

Вы ввели

   /   / 2    \\
sin\log\x  + 1//

$$\sin{\left (\log{\left (x^{2} + 1 \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \log{\left (x^{2} + 1 \right )}$.

2. Производная синуса есть косинус:

   $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (x^{2} + 1 \right )}$:

   1. Заменим $u = x^{2} + 1$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x^{2} + 1\right)$:

      1. дифференцируем $x^{2} + 1$ почленно:

         1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         2. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         В результате: $2 x$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{2 x}{x^{2} + 1} \cos{\left (\log{\left (x^{2} + 1 \right )} \right )}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{2 x}{x^{2} + 1} \cos{\left (\log{\left (x^{2} + 1 \right )} \right )}$

---

Ответ:

$\frac{2 x}{x^{2} + 1} \cos{\left (\log{\left (x^{2} + 1 \right )} \right )}$

Первая производная

       /   / 2    \\
2*x*cos\log\x  + 1//
--------------------
        2           
       x  + 1       

$$\frac{2 x}{x^{2} + 1} \cos{\left (\log{\left (x^{2} + 1 \right )} \right )}$$

Вторая производная

  /     2    /   /     2\\      2    /   /     2\\                   \
  |  2*x *cos\log\1 + x //   2*x *sin\log\1 + x //      /   /     2\\|
2*|- --------------------- - --------------------- + cos\log\1 + x //|
  |               2                       2                          |
  \          1 + x                   1 + x                           /
----------------------------------------------------------------------
                                     2                                
                                1 + x                                 

$$\frac{1}{x^{2} + 1} \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{2} + 1} \sin{\left (\log{\left (x^{2} + 1 \right )} \right )} - \frac{4 x^{2}}{x^{2} + 1} \cos{\left (\log{\left (x^{2} + 1 \right )} \right )} + 2 \cos{\left (\log{\left (x^{2} + 1 \right )} \right )}\right)$$

Третья производная

    /                                               2    /   /     2\\      2    /   /     2\\\
    |       /   /     2\\        /   /     2\\   2*x *cos\log\1 + x //   6*x *sin\log\1 + x //|
4*x*|- 3*cos\log\1 + x // - 3*sin\log\1 + x // + --------------------- + ---------------------|
    |                                                         2                       2       |
    \                                                    1 + x                   1 + x        /
-----------------------------------------------------------------------------------------------
                                                   2                                           
                                           /     2\                                            
                                           \1 + x /                                            

$$\frac{4 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} \left(\frac{6 x^{2}}{x^{2} + 1} \sin{\left (\log{\left (x^{2} + 1 \right )} \right )} + \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} \cos{\left (\log{\left (x^{2} + 1 \right )} \right )} - 3 \sin{\left (\log{\left (x^{2} + 1 \right )} \right )} - 3 \cos{\left (\log{\left (x^{2} + 1 \right )} \right )}\right)$$