Производная sin(1/(2*x))

Вы ввели

   / 1 \
sin|---|
   \2*x/

$$\sin{\left (\frac{1}{2 x} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{1}{2 x}$.

2. Производная синуса есть косинус:

   $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{1}{2 x}$:

   1. Заменим $u = 2 x$.

   2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(2 x\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $2$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{1}{2 x^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{1}{2 x^{2}} \cos{\left (\frac{1}{2 x} \right )}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{2 x^{2}} \cos{\left (\frac{1}{2 x} \right )}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{2 x^{2}} \cos{\left (\frac{1}{2 x} \right )}$

Первая производная

    / 1 \ 
-cos|---| 
    \2*x/ 
----------
      2   
   2*x    

$$- \frac{1}{2 x^{2}} \cos{\left (\frac{1}{2 x} \right )}$$

Вторая производная

     / 1 \           
  sin|---|           
     \2*x/      / 1 \
- -------- + cos|---|
    4*x         \2*x/
---------------------
           3         
          x          

$$\frac{1}{x^{3}} \left(\cos{\left (\frac{1}{2 x} \right )} - \frac{1}{4 x} \sin{\left (\frac{1}{2 x} \right )}\right)$$

Третья производная

                  / 1 \        / 1 \
               cos|---|   3*sin|---|
       / 1 \      \2*x/        \2*x/
- 3*cos|---| + -------- + ----------
       \2*x/        2        2*x    
                 8*x                
------------------------------------
                  4                 
                 x                  

$$\frac{1}{x^{4}} \left(- 3 \cos{\left (\frac{1}{2 x} \right )} + \frac{3}{2 x} \sin{\left (\frac{1}{2 x} \right )} + \frac{1}{8 x^{2}} \cos{\left (\frac{1}{2 x} \right )}\right)$$