Производная sin(1/x)

Вы ввели

   /  1\
sin|1*-|
   \  x/

$$\sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$$

d /   /  1\\
--|sin|1*-||
dx\   \  x//

$$\frac{d}{d x} \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = 1 \cdot \frac{1}{x}$.

2. Производная синуса есть косинус:

   $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{x}$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = x$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $- \frac{1}{x^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{\cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}$

Первая производная

    /  1\ 
-cos|1*-| 
    \  x/ 
----------
     2    
    x     

$$- \frac{\cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}$$

Вторая производная

              /1\
           sin|-|
     /1\      \x/
2*cos|-| - ------
     \x/     x   
-----------------
         3       
        x        

$$\frac{2 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}}{x^{3}}$$

Третья производная

                /1\        /1\
             cos|-|   6*sin|-|
       /1\      \x/        \x/
- 6*cos|-| + ------ + --------
       \x/      2        x    
               x              
------------------------------
               4              
              x               

$$\frac{- 6 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + \frac{6 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x} + \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}}{x^{4}}$$

График