Производная sin(1/x-1)

Вы ввели

   /  1    \
sin|1*- - 1|
   \  x    /

$$\sin{\left(\left(-1\right) 1 + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$$

d /   /  1    \\
--|sin|1*- - 1||
dx\   \  x    //

$$\frac{d}{d x} \sin{\left(\left(-1\right) 1 + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \left(-1\right) 1 + 1 \cdot \frac{1}{x}$.

2. Производная синуса есть косинус:

   $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(\left(-1\right) 1 + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)$:

   1. дифференцируем $\left(-1\right) 1 + 1 \cdot \frac{1}{x}$ почленно:

      1. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = x$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Теперь применим правило производной деления:

         $- \frac{1}{x^{2}}$

      2. Производная постоянной $\left(-1\right) 1$ равна нулю.

      В результате: $- \frac{1}{x^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{\cos{\left(\left(-1\right) 1 + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{\cos{\left(\frac{x - 1}{x} \right)}}{x^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{\cos{\left(\frac{x - 1}{x} \right)}}{x^{2}}$

Первая производная

    /  1    \ 
-cos|1*- - 1| 
    \  x    / 
--------------
       2      
      x       

$$- \frac{\cos{\left(\left(-1\right) 1 + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}$$

Вторая производная

                  /    1\
               sin|1 - -|
     /    1\      \    x/
2*cos|1 - -| + ----------
     \    x/       x     
-------------------------
             3           
            x            

$$\frac{2 \cos{\left(1 - \frac{1}{x} \right)} + \frac{\sin{\left(1 - \frac{1}{x} \right)}}{x}}{x^{3}}$$

Третья производная

                    /    1\        /    1\
                 cos|1 - -|   6*sin|1 - -|
       /    1\      \    x/        \    x/
- 6*cos|1 - -| + ---------- - ------------
       \    x/        2            x      
                     x                    
------------------------------------------
                     4                    
                    x                     

$$\frac{- 6 \cos{\left(1 - \frac{1}{x} \right)} - \frac{6 \sin{\left(1 - \frac{1}{x} \right)}}{x} + \frac{\cos{\left(1 - \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}}{x^{4}}$$

График