Производная sin(1/x^2)

Вы ввели

   /  1 \
sin|1*--|
   |   2|
   \  x /

$$\sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x^{2}} \right)}$$

d /   /  1 \\
--|sin|1*--||
dx|   |   2||
  \   \  x //

$$\frac{d}{d x} \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x^{2}} \right)}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = 1 \cdot \frac{1}{x^{2}}$.

2. Производная синуса есть косинус:

   $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{x^{2}}$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = x^{2}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      Теперь применим правило производной деления:

      $- \frac{2}{x^{3}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{2 \cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{3}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{2 \cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{3}}$

---

Ответ:

$- \frac{2 \cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{3}}$

Первая производная

      /  1 \
-2*cos|1*--|
      |   2|
      \  x /
------------
      3     
     x      

$$- \frac{2 \cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{3}}$$

Вторая производная

  /                 /1 \\
  |            2*sin|--||
  |                 | 2||
  |     /1 \        \x /|
2*|3*cos|--| - ---------|
  |     | 2|        2   |
  \     \x /       x    /
-------------------------
             4           
            x            

$$\frac{2 \cdot \left(3 \cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} - \frac{2 \sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{2}}\right)}{x^{4}}$$

Третья производная

  /                   /1 \        /1 \\
  |              2*cos|--|   9*sin|--||
  |                   | 2|        | 2||
  |       /1 \        \x /        \x /|
4*|- 6*cos|--| + --------- + ---------|
  |       | 2|        4           2   |
  \       \x /       x           x    /
---------------------------------------
                    5                  
                   x                   

$$\frac{4 \left(- 6 \cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} + \frac{9 \sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{2}} + \frac{2 \cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{4}}\right)}{x^{5}}$$

График