Производная sin(5/x)

Вы ввели

   /5\
sin|-|
   \x/

$$\sin{\left(\frac{5}{x} \right)}$$

d /   /5\\
--|sin|-||
dx\   \x//

$$\frac{d}{d x} \sin{\left(\frac{5}{x} \right)}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{5}{x}$.

2. Производная синуса есть косинус:

   $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{5}{x}$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

      Таким образом, в результате: $- \frac{5}{x^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{5 \cos{\left(\frac{5}{x} \right)}}{x^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{5 \cos{\left(\frac{5}{x} \right)}}{x^{2}}$

Первая производная

      /5\
-5*cos|-|
      \x/
---------
     2   
    x    

$$- \frac{5 \cos{\left(\frac{5}{x} \right)}}{x^{2}}$$

Вторая производная

  /                /5\\
  |           5*sin|-||
  |     /5\        \x/|
5*|2*cos|-| - --------|
  \     \x/      x    /
-----------------------
            3          
           x           

$$\frac{5 \cdot \left(2 \cos{\left(\frac{5}{x} \right)} - \frac{5 \sin{\left(\frac{5}{x} \right)}}{x}\right)}{x^{3}}$$

Третья производная

  /                   /5\         /5\\
  |             25*cos|-|   30*sin|-||
  |       /5\         \x/         \x/|
5*|- 6*cos|-| + --------- + ---------|
  |       \x/        2          x    |
  \                 x                /
--------------------------------------
                   4                  
                  x                   

$$\frac{5 \left(- 6 \cos{\left(\frac{5}{x} \right)} + \frac{30 \sin{\left(\frac{5}{x} \right)}}{x} + \frac{25 \cos{\left(\frac{5}{x} \right)}}{x^{2}}\right)}{x^{4}}$$

График