Производная sin(t)/(1+cos(t))

Вы ввели

  sin(t)  
----------
1 + cos(t)

$$\frac{\sin{\left (t \right )}}{\cos{\left (t \right )} + 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d t}\left(\frac{f{\left (t \right )}}{g{\left (t \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (t \right )}} \left(- f{\left (t \right )} \frac{d}{d t} g{\left (t \right )} + g{\left (t \right )} \frac{d}{d t} f{\left (t \right )}\right)$

   $f{\left (t \right )} = \sin{\left (t \right )}$ и $g{\left (t \right )} = \cos{\left (t \right )} + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d t} f{\left (t \right )}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d t} \sin{\left (t \right )} = \cos{\left (t \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d t} g{\left (t \right )}$:

   1. дифференцируем $\cos{\left (t \right )} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d t} \cos{\left (t \right )} = - \sin{\left (t \right )}$

      В результате: $- \sin{\left (t \right )}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(\cos{\left (t \right )} + 1\right)^{2}} \left(\left(\cos{\left (t \right )} + 1\right) \cos{\left (t \right )} + \sin^{2}{\left (t \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{\cos{\left (t \right )} + 1}$

---

Ответ:

$\frac{1}{\cos{\left (t \right )} + 1}$

Первая производная

                   2      
  cos(t)        sin (t)   
---------- + -------------
1 + cos(t)               2
             (1 + cos(t)) 

$$\frac{\cos{\left (t \right )}}{\cos{\left (t \right )} + 1} + \frac{\sin^{2}{\left (t \right )}}{\left(\cos{\left (t \right )} + 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

/            2                  \       
|       2*sin (t)      3*cos(t) |       
|-1 + ------------- + ----------|*sin(t)
|                 2   1 + cos(t)|       
\     (1 + cos(t))              /       
----------------------------------------
               1 + cos(t)               

$$\frac{\sin{\left (t \right )}}{\cos{\left (t \right )} + 1} \left(-1 + \frac{3 \cos{\left (t \right )}}{\cos{\left (t \right )} + 1} + \frac{2 \sin^{2}{\left (t \right )}}{\left(\cos{\left (t \right )} + 1\right)^{2}}\right)$$

Третья производная

               2            2              4              2          
          4*sin (t)    3*cos (t)      6*sin (t)     12*sin (t)*cos(t)
-cos(t) - ---------- + ---------- + ------------- + -----------------
          1 + cos(t)   1 + cos(t)               3                 2  
                                    (1 + cos(t))      (1 + cos(t))   
---------------------------------------------------------------------
                              1 + cos(t)                             

$$\frac{1}{\cos{\left (t \right )} + 1} \left(- \cos{\left (t \right )} - \frac{4 \sin^{2}{\left (t \right )}}{\cos{\left (t \right )} + 1} + \frac{3 \cos^{2}{\left (t \right )}}{\cos{\left (t \right )} + 1} + \frac{12 \sin^{2}{\left (t \right )} \cos{\left (t \right )}}{\left(\cos{\left (t \right )} + 1\right)^{2}} + \frac{6 \sin^{4}{\left (t \right )}}{\left(\cos{\left (t \right )} + 1\right)^{3}}\right)$$

График