Производная sin(t)/t

Вы ввели

sin(t)
------
  t   

$$\frac{1}{t} \sin{\left (t \right )}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d t}\left(\frac{f{\left (t \right )}}{g{\left (t \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (t \right )}} \left(- f{\left (t \right )} \frac{d}{d t} g{\left (t \right )} + g{\left (t \right )} \frac{d}{d t} f{\left (t \right )}\right)$

   $f{\left (t \right )} = \sin{\left (t \right )}$ и $g{\left (t \right )} = t$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d t} f{\left (t \right )}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d t} \sin{\left (t \right )} = \cos{\left (t \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d t} g{\left (t \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $t$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{t^{2}} \left(t \cos{\left (t \right )} - \sin{\left (t \right )}\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{t^{2}} \left(t \cos{\left (t \right )} - \sin{\left (t \right )}\right)$

Первая производная

cos(t)   sin(t)
------ - ------
  t         2  
           t   

$$\frac{1}{t} \cos{\left (t \right )} - \frac{1}{t^{2}} \sin{\left (t \right )}$$

Вторая производная

          2*cos(t)   2*sin(t)
-sin(t) - -------- + --------
             t           2   
                        t    
-----------------------------
              t              

$$\frac{1}{t} \left(- \sin{\left (t \right )} - \frac{2}{t} \cos{\left (t \right )} + \frac{2}{t^{2}} \sin{\left (t \right )}\right)$$

Третья производная

          6*sin(t)   3*sin(t)   6*cos(t)
-cos(t) - -------- + -------- + --------
              3         t           2   
             t                     t    
----------------------------------------
                   t                    

$$\frac{1}{t} \left(- \cos{\left (t \right )} + \frac{3}{t} \sin{\left (t \right )} + \frac{6}{t^{2}} \cos{\left (t \right )} - \frac{6}{t^{3}} \sin{\left (t \right )}\right)$$