Производная sin(tan(x^2))

Вы ввели

   /   / 2\\
sin\tan\x //

$$\sin{\left (\tan{\left (x^{2} \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan{\left (x^{2} \right )}$.

2. Производная синуса есть косинус:

   $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left (x^{2} \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = x^{2}$.

      2. $\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} x^{2}$:

         1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{2 x}{\cos^{2}{\left (x^{2} \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{\cos{\left (\tan{\left (x^{2} \right )} \right )}}{\cos^{2}{\left (x^{2} \right )}} \left(2 x \sin^{2}{\left (x^{2} \right )} + 2 x \cos^{2}{\left (x^{2} \right )}\right)$

4. Теперь упростим:

   $\frac{2 x}{\cos^{2}{\left (x^{2} \right )}} \cos{\left (\tan{\left (x^{2} \right )} \right )}$

---

Ответ:

$\frac{2 x}{\cos^{2}{\left (x^{2} \right )}} \cos{\left (\tan{\left (x^{2} \right )} \right )}$

Первая производная

    /       2/ 2\\    /   / 2\\
2*x*\1 + tan \x //*cos\tan\x //

$$2 x \left(\tan^{2}{\left (x^{2} \right )} + 1\right) \cos{\left (\tan{\left (x^{2} \right )} \right )}$$

Вторая производная

  /       2/ 2\\ /     2 /       2/ 2\\    /   / 2\\      2    /   / 2\\    / 2\      /   / 2\\\
2*\1 + tan \x //*\- 2*x *\1 + tan \x //*sin\tan\x // + 4*x *cos\tan\x //*tan\x / + cos\tan\x ///

$$2 \left(\tan^{2}{\left (x^{2} \right )} + 1\right) \left(- 2 x^{2} \left(\tan^{2}{\left (x^{2} \right )} + 1\right) \sin{\left (\tan{\left (x^{2} \right )} \right )} + 4 x^{2} \cos{\left (\tan{\left (x^{2} \right )} \right )} \tan{\left (x^{2} \right )} + \cos{\left (\tan{\left (x^{2} \right )} \right )}\right)$$

Третья производная

                   /                                                                              2                                                                                                                         \
    /       2/ 2\\ |    /       2/ 2\\    /   / 2\\        /   / 2\\    / 2\      2 /       2/ 2\\     /   / 2\\      2 /       2/ 2\\    /   / 2\\      2    2/ 2\    /   / 2\\       2 /       2/ 2\\    /   / 2\\    / 2\|
4*x*\1 + tan \x //*\- 3*\1 + tan \x //*sin\tan\x // + 6*cos\tan\x //*tan\x / - 2*x *\1 + tan \x // *cos\tan\x // + 4*x *\1 + tan \x //*cos\tan\x // + 8*x *tan \x /*cos\tan\x // - 12*x *\1 + tan \x //*sin\tan\x //*tan\x //

$$4 x \left(\tan^{2}{\left (x^{2} \right )} + 1\right) \left(- 2 x^{2} \left(\tan^{2}{\left (x^{2} \right )} + 1\right)^{2} \cos{\left (\tan{\left (x^{2} \right )} \right )} - 12 x^{2} \left(\tan^{2}{\left (x^{2} \right )} + 1\right) \sin{\left (\tan{\left (x^{2} \right )} \right )} \tan{\left (x^{2} \right )} + 4 x^{2} \left(\tan^{2}{\left (x^{2} \right )} + 1\right) \cos{\left (\tan{\left (x^{2} \right )} \right )} + 8 x^{2} \cos{\left (\tan{\left (x^{2} \right )} \right )} \tan^{2}{\left (x^{2} \right )} - 3 \left(\tan^{2}{\left (x^{2} \right )} + 1\right) \sin{\left (\tan{\left (x^{2} \right )} \right )} + 6 \cos{\left (\tan{\left (x^{2} \right )} \right )} \tan{\left (x^{2} \right )}\right)$$