Производная sin(3*x)/x

Вы ввели

sin(3*x)
--------
   x    

$$\frac{1}{x} \sin{\left (3 x \right )}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \sin{\left (3 x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = 3 x$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(3 x\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $3$

      В результате последовательности правил:

      $3 \cos{\left (3 x \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(3 x \cos{\left (3 x \right )} - \sin{\left (3 x \right )}\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{x^{2}} \left(3 x \cos{\left (3 x \right )} - \sin{\left (3 x \right )}\right)$

Первая производная

  sin(3*x)   3*cos(3*x)
- -------- + ----------
      2          x     
     x                 

$$\frac{3}{x} \cos{\left (3 x \right )} - \frac{1}{x^{2}} \sin{\left (3 x \right )}$$

Вторая производная

              6*cos(3*x)   2*sin(3*x)
-9*sin(3*x) - ---------- + ----------
                  x             2    
                               x     
-------------------------------------
                  x                  

$$\frac{1}{x} \left(- 9 \sin{\left (3 x \right )} - \frac{6}{x} \cos{\left (3 x \right )} + \frac{2}{x^{2}} \sin{\left (3 x \right )}\right)$$

Третья производная

  /              2*sin(3*x)   6*cos(3*x)   9*sin(3*x)\
3*|-9*cos(3*x) - ---------- + ---------- + ----------|
  |                   3            2           x     |
  \                  x            x                  /
------------------------------------------------------
                          x                           

$$\frac{1}{x} \left(- 27 \cos{\left (3 x \right )} + \frac{27}{x} \sin{\left (3 x \right )} + \frac{18}{x^{2}} \cos{\left (3 x \right )} - \frac{6}{x^{3}} \sin{\left (3 x \right )}\right)$$