Производная sin(x/4)^(5)

Вы ввели

   5/x\
sin |-|
    \4/

$$\sin^{5}{\left (\frac{x}{4} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin{\left (\frac{x}{4} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{5}$ получим $5 u^{4}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (\frac{x}{4} \right )}$:

   1. Заменим $u = \frac{x}{4}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{4}\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $\frac{1}{4}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{1}{4} \cos{\left (\frac{x}{4} \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{5}{4} \sin^{4}{\left (\frac{x}{4} \right )} \cos{\left (\frac{x}{4} \right )}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{5}{4} \sin^{4}{\left (\frac{x}{4} \right )} \cos{\left (\frac{x}{4} \right )}$

---

Ответ:

$\frac{5}{4} \sin^{4}{\left (\frac{x}{4} \right )} \cos{\left (\frac{x}{4} \right )}$

Первая производная

     4/x\    /x\
5*sin |-|*cos|-|
      \4/    \4/
----------------
       4        

$$\frac{5}{4} \sin^{4}{\left (\frac{x}{4} \right )} \cos{\left (\frac{x}{4} \right )}$$

Вторая производная

     3/x\ /     2/x\        2/x\\
5*sin |-|*|- sin |-| + 4*cos |-||
      \4/ \      \4/         \4//
---------------------------------
                16               

$$\frac{5}{16} \left(- \sin^{2}{\left (\frac{x}{4} \right )} + 4 \cos^{2}{\left (\frac{x}{4} \right )}\right) \sin^{3}{\left (\frac{x}{4} \right )}$$

Третья производная

     2/x\ /        2/x\         2/x\\    /x\
5*sin |-|*|- 13*sin |-| + 12*cos |-||*cos|-|
      \4/ \         \4/          \4//    \4/
--------------------------------------------
                     64                     

$$\frac{5}{64} \left(- 13 \sin^{2}{\left (\frac{x}{4} \right )} + 12 \cos^{2}{\left (\frac{x}{4} \right )}\right) \sin^{2}{\left (\frac{x}{4} \right )} \cos{\left (\frac{x}{4} \right )}$$

График