Производная (sin(x))/(2-cos(x))

Вы ввели

  sin(x)  
----------
2 - cos(x)

$$\frac{\sin{\left (x \right )}}{- \cos{\left (x \right )} + 2}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = - \cos{\left (x \right )} + 2$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $- \cos{\left (x \right )} + 2$ почленно:

      1. Производная постоянной $2$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

         Таким образом, в результате: $\sin{\left (x \right )}$

      В результате: $\sin{\left (x \right )}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(- \cos{\left (x \right )} + 2\right)^{2}} \left(\left(- \cos{\left (x \right )} + 2\right) \cos{\left (x \right )} - \sin^{2}{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{2 \cos{\left (x \right )} - 1}{\left(\cos{\left (x \right )} - 2\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{2 \cos{\left (x \right )} - 1}{\left(\cos{\left (x \right )} - 2\right)^{2}}$

Первая производная

                   2      
  cos(x)        sin (x)   
---------- - -------------
2 - cos(x)               2
             (2 - cos(x)) 

$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{- \cos{\left (x \right )} + 2} - \frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\left(- \cos{\left (x \right )} + 2\right)^{2}}$$

Вторая производная

/                         2      \       
|      3*cos(x)      2*sin (x)   |       
|1 - ----------- - --------------|*sin(x)
|    -2 + cos(x)                2|       
\                  (-2 + cos(x)) /       
-----------------------------------------
               -2 + cos(x)               

$$\frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} - 2} \left(1 - \frac{3 \cos{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} - 2} - \frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} - 2\right)^{2}}\right)$$

Третья производная

         4               2             2             2                   
    6*sin (x)       3*cos (x)     4*sin (x)    12*sin (x)*cos(x)         
- -------------- - ----------- + ----------- - ----------------- + cos(x)
               3   -2 + cos(x)   -2 + cos(x)                  2          
  (-2 + cos(x))                                  (-2 + cos(x))           
-------------------------------------------------------------------------
                               -2 + cos(x)                               

$$\frac{1}{\cos{\left (x \right )} - 2} \left(\cos{\left (x \right )} + \frac{4 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} - 2} - \frac{3 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} - 2} - \frac{12 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} - 2\right)^{2}} - \frac{6 \sin^{4}{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} - 2\right)^{3}}\right)$$