Производная sin(x)/(2+cos(x))

Вы ввели

  sin(x)  
----------
2 + cos(x)

$$\frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 2}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )} + 2$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $\cos{\left (x \right )} + 2$ почленно:

      1. Производная постоянной $2$ равна нулю.

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

      В результате: $- \sin{\left (x \right )}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(\cos{\left (x \right )} + 2\right)^{2}} \left(\left(\cos{\left (x \right )} + 2\right) \cos{\left (x \right )} + \sin^{2}{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{2 \cos{\left (x \right )} + 1}{\left(\cos{\left (x \right )} + 2\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{2 \cos{\left (x \right )} + 1}{\left(\cos{\left (x \right )} + 2\right)^{2}}$

Первая производная

                   2      
  cos(x)        sin (x)   
---------- + -------------
2 + cos(x)               2
             (2 + cos(x)) 

$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 2} + \frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} + 2\right)^{2}}$$

Вторая производная

/            2                  \       
|       2*sin (x)      3*cos(x) |       
|-1 + ------------- + ----------|*sin(x)
|                 2   2 + cos(x)|       
\     (2 + cos(x))              /       
----------------------------------------
               2 + cos(x)               

$$\frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 2} \left(-1 + \frac{3 \cos{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 2} + \frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} + 2\right)^{2}}\right)$$

Третья производная

               2            2              4              2          
          4*sin (x)    3*cos (x)      6*sin (x)     12*sin (x)*cos(x)
-cos(x) - ---------- + ---------- + ------------- + -----------------
          2 + cos(x)   2 + cos(x)               3                 2  
                                    (2 + cos(x))      (2 + cos(x))   
---------------------------------------------------------------------
                              2 + cos(x)                             

$$\frac{1}{\cos{\left (x \right )} + 2} \left(- \cos{\left (x \right )} - \frac{4 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 2} + \frac{3 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 2} + \frac{12 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} + 2\right)^{2}} + \frac{6 \sin^{4}{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} + 2\right)^{3}}\right)$$