Производная sin(x/2)^(9)

Вы ввели

   9/x\
sin |-|
    \2/

$$\sin^{9}{\left (\frac{x}{2} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{9}$ получим $9 u^{8}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$:

   1. Заменим $u = \frac{x}{2}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{2}\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $\frac{1}{2}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{1}{2} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{9}{2} \sin^{8}{\left (\frac{x}{2} \right )} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{9}{2} \sin^{8}{\left (\frac{x}{2} \right )} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$

---

Ответ:

$\frac{9}{2} \sin^{8}{\left (\frac{x}{2} \right )} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$

Первая производная

     8/x\    /x\
9*sin |-|*cos|-|
      \2/    \2/
----------------
       2        

$$\frac{9}{2} \sin^{8}{\left (\frac{x}{2} \right )} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$$

Вторая производная

          /               2/x\\
          |            sin |-||
     7/x\ |     2/x\       \2/|
9*sin |-|*|2*cos |-| - -------|
      \2/ \      \2/      4   /

$$9 \left(- \frac{1}{4} \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 2 \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}\right) \sin^{7}{\left (\frac{x}{2} \right )}$$

Третья производная

          /                  2/x\\       
          |            25*sin |-||       
     6/x\ |     2/x\          \2/|    /x\
9*sin |-|*|7*cos |-| - ----------|*cos|-|
      \2/ \      \2/       8     /    \2/

$$9 \left(- \frac{25}{8} \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 7 \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}\right) \sin^{6}{\left (\frac{x}{2} \right )} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$$