Производная sin(x)/cos(x)

Вы ввели

sin(x)
------
cos(x)

$$\frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

       2   
    sin (x)
1 + -------
       2   
    cos (x)

$$\frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + 1$$

Вторая производная

  /       2   \       
  |    sin (x)|       
2*|1 + -------|*sin(x)
  |       2   |       
  \    cos (x)/       
----------------------
        cos(x)        

$$\frac{2 \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} \left(\frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + 1\right)$$

Третья производная

  /         4           2   \
  |    3*sin (x)   4*sin (x)|
2*|1 + --------- + ---------|
  |        4           2    |
  \     cos (x)     cos (x) /

$$2 \left(\frac{3 \sin^{4}{\left (x \right )}}{\cos^{4}{\left (x \right )}} + \frac{4 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + 1\right)$$