Производная sin(x)/(cos(x)-1)

Вы ввели

  sin(x)  
----------
cos(x) - 1

$$\frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} - 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )} - 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $\cos{\left (x \right )} - 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

      В результате: $- \sin{\left (x \right )}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(\cos{\left (x \right )} - 1\right)^{2}} \left(\left(\cos{\left (x \right )} - 1\right) \cos{\left (x \right )} + \sin^{2}{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{\cos{\left (x \right )} - 1}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{\cos{\left (x \right )} - 1}$

Первая производная

                   2      
  cos(x)        sin (x)   
---------- + -------------
cos(x) - 1               2
             (cos(x) - 1) 

$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} - 1} + \frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

/            2                    \       
|       2*sin (x)        3*cos(x) |       
|-1 + -------------- + -----------|*sin(x)
|                  2   -1 + cos(x)|       
\     (-1 + cos(x))               /       
------------------------------------------
               -1 + cos(x)                

$$\frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} - 1} \left(-1 + \frac{3 \cos{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} - 1} + \frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}\right)$$

Третья производная

                2             2              4               2          
           4*sin (x)     3*cos (x)      6*sin (x)      12*sin (x)*cos(x)
-cos(x) - ----------- + ----------- + -------------- + -----------------
          -1 + cos(x)   -1 + cos(x)                3                  2 
                                      (-1 + cos(x))      (-1 + cos(x))  
------------------------------------------------------------------------
                              -1 + cos(x)                               

$$\frac{1}{\cos{\left (x \right )} - 1} \left(- \cos{\left (x \right )} - \frac{4 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} - 1} + \frac{3 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} - 1} + \frac{12 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} - 1\right)^{2}} + \frac{6 \sin^{4}{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} - 1\right)^{3}}\right)$$