Производная sin(x)/log(x)

Вы ввели

sin(x)
------
log(x)

$$\frac{\sin{\left (x \right )}}{\log{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\log^{2}{\left (x \right )}} \left(\log{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} - \frac{1}{x} \sin{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{\cos{\left (x \right )}}{\log{\left (x \right )}} - \frac{\sin{\left (x \right )}}{x \log^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{\cos{\left (x \right )}}{\log{\left (x \right )}} - \frac{\sin{\left (x \right )}}{x \log^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

cos(x)     sin(x) 
------ - ---------
log(x)        2   
         x*log (x)

$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{\log{\left (x \right )}} - \frac{\sin{\left (x \right )}}{x \log^{2}{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

            sin(x)    2*cos(x)    2*sin(x) 
-sin(x) + --------- - -------- + ----------
           2          x*log(x)    2    2   
          x *log(x)              x *log (x)
-------------------------------------------
                   log(x)                  

$$\frac{1}{\log{\left (x \right )}} \left(- \sin{\left (x \right )} - \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{x \log{\left (x \right )}} + \frac{\sin{\left (x \right )}}{x^{2} \log{\left (x \right )}} + \frac{2 \sin{\left (x \right )}}{x^{2} \log^{2}{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

           6*sin(x)     6*sin(x)     2*sin(x)   3*sin(x)    3*cos(x)    6*cos(x) 
-cos(x) - ---------- - ---------- - --------- + -------- + --------- + ----------
           3    3       3    2       3          x*log(x)    2           2    2   
          x *log (x)   x *log (x)   x *log(x)              x *log(x)   x *log (x)
---------------------------------------------------------------------------------
                                      log(x)                                     

$$\frac{1}{\log{\left (x \right )}} \left(- \cos{\left (x \right )} + \frac{3 \sin{\left (x \right )}}{x \log{\left (x \right )}} + \frac{3 \cos{\left (x \right )}}{x^{2} \log{\left (x \right )}} + \frac{6 \cos{\left (x \right )}}{x^{2} \log^{2}{\left (x \right )}} - \frac{2 \sin{\left (x \right )}}{x^{3} \log{\left (x \right )}} - \frac{6 \sin{\left (x \right )}}{x^{3} \log^{2}{\left (x \right )}} - \frac{6 \sin{\left (x \right )}}{x^{3} \log^{3}{\left (x \right )}}\right)$$