Производная sin(x)/(1+log(x))

Вы ввели

  sin(x)  
----------
1 + log(x)

$$\frac{\sin{\left (x \right )}}{\log{\left (x \right )} + 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )} + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $\log{\left (x \right )} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

      В результате: $\frac{1}{x}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(\log{\left (x \right )} + 1\right)^{2}} \left(\left(\log{\left (x \right )} + 1\right) \cos{\left (x \right )} - \frac{1}{x} \sin{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{x \left(\log{\left (x \right )} + 1\right)^{2}} \left(x \left(\log{\left (x \right )} + 1\right) \cos{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )}\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{x \left(\log{\left (x \right )} + 1\right)^{2}} \left(x \left(\log{\left (x \right )} + 1\right) \cos{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )}\right)$

Первая производная

  cos(x)          sin(x)    
---------- - ---------------
1 + log(x)                 2
             x*(1 + log(x)) 

$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{\log{\left (x \right )} + 1} - \frac{\sin{\left (x \right )}}{x \left(\log{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

               sin(x)          2*cos(x)          2*sin(x)    
-sin(x) + --------------- - -------------- + ----------------
           2                x*(1 + log(x))    2             2
          x *(1 + log(x))                    x *(1 + log(x)) 
-------------------------------------------------------------
                          1 + log(x)                         

$$\frac{1}{\log{\left (x \right )} + 1} \left(- \sin{\left (x \right )} - \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{x \left(\log{\left (x \right )} + 1\right)} + \frac{\sin{\left (x \right )}}{x^{2} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right)} + \frac{2 \sin{\left (x \right )}}{x^{2} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}\right)$$

Третья производная

              6*sin(x)           6*sin(x)           2*sin(x)         3*sin(x)          3*cos(x)          6*cos(x)    
-cos(x) - ---------------- - ---------------- - --------------- + -------------- + --------------- + ----------------
           3             3    3             2    3                x*(1 + log(x))    2                 2             2
          x *(1 + log(x))    x *(1 + log(x))    x *(1 + log(x))                    x *(1 + log(x))   x *(1 + log(x)) 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                      1 + log(x)                                                     

$$\frac{1}{\log{\left (x \right )} + 1} \left(- \cos{\left (x \right )} + \frac{3 \sin{\left (x \right )}}{x \left(\log{\left (x \right )} + 1\right)} + \frac{3 \cos{\left (x \right )}}{x^{2} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right)} + \frac{6 \cos{\left (x \right )}}{x^{2} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right)^{2}} - \frac{2 \sin{\left (x \right )}}{x^{3} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right)} - \frac{6 \sin{\left (x \right )}}{x^{3} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right)^{2}} - \frac{6 \sin{\left (x \right )}}{x^{3} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right)^{3}}\right)$$