Производная sin(x)/(5*x)

Вы ввели

sin(x)
------
 5*x  

$$\frac{\sin{\left (x \right )}}{5 x}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = 5 x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Таким образом, в результате: $5$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{25 x^{2}} \left(5 x \cos{\left (x \right )} - 5 \sin{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{5 x^{2}} \left(x \cos{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )}\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{5 x^{2}} \left(x \cos{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )}\right)$

Первая производная

 1           sin(x)
---*cos(x) - ------
5*x              2 
              5*x  

$$\frac{1}{5 x} \cos{\left (x \right )} - \frac{\sin{\left (x \right )}}{5 x^{2}}$$

Вторая производная

          2*cos(x)   2*sin(x)
-sin(x) - -------- + --------
             x           2   
                        x    
-----------------------------
             5*x             

$$\frac{1}{5 x} \left(- \sin{\left (x \right )} - \frac{2}{x} \cos{\left (x \right )} + \frac{2}{x^{2}} \sin{\left (x \right )}\right)$$

Третья производная

          6*sin(x)   3*sin(x)   6*cos(x)
-cos(x) - -------- + -------- + --------
              3         x           2   
             x                     x    
----------------------------------------
                  5*x                   

$$\frac{1}{5 x} \left(- \cos{\left (x \right )} + \frac{3}{x} \sin{\left (x \right )} + \frac{6}{x^{2}} \cos{\left (x \right )} - \frac{6}{x^{3}} \sin{\left (x \right )}\right)$$