Производная sin(x/3)^(3)

Вы ввели

   3/x\
sin |-|
    \3/

$$\sin^{3}{\left (\frac{x}{3} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin{\left (\frac{x}{3} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (\frac{x}{3} \right )}$:

   1. Заменим $u = \frac{x}{3}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{3}\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $\frac{1}{3}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{1}{3} \cos{\left (\frac{x}{3} \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $\sin^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} \cos{\left (\frac{x}{3} \right )}$

4. Теперь упростим:

   $\sin^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} \cos{\left (\frac{x}{3} \right )}$

---

Ответ:

$\sin^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} \cos{\left (\frac{x}{3} \right )}$

Первая производная

   2/x\    /x\
sin |-|*cos|-|
    \3/    \3/

$$\sin^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} \cos{\left (\frac{x}{3} \right )}$$

Вторая производная

/     2/x\        2/x\\    /x\
|- sin |-| + 2*cos |-||*sin|-|
\      \3/         \3//    \3/
------------------------------
              3               

$$\frac{1}{3} \left(- \sin^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} + 2 \cos^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}\right) \sin{\left (\frac{x}{3} \right )}$$

Третья производная

/       2/x\        2/x\\    /x\
|- 7*sin |-| + 2*cos |-||*cos|-|
\        \3/         \3//    \3/
--------------------------------
               9                

$$\frac{1}{9} \left(- 7 \sin^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} + 2 \cos^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}\right) \cos{\left (\frac{x}{3} \right )}$$