Производная sin(x/8)^(8)

Вы ввели

   8/x\
sin |-|
    \8/

$$\sin^{8}{\left (\frac{x}{8} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin{\left (\frac{x}{8} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{8}$ получим $8 u^{7}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (\frac{x}{8} \right )}$:

   1. Заменим $u = \frac{x}{8}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{8}\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $\frac{1}{8}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{1}{8} \cos{\left (\frac{x}{8} \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $\sin^{7}{\left (\frac{x}{8} \right )} \cos{\left (\frac{x}{8} \right )}$

4. Теперь упростим:

   $\sin^{7}{\left (\frac{x}{8} \right )} \cos{\left (\frac{x}{8} \right )}$

---

Ответ:

$\sin^{7}{\left (\frac{x}{8} \right )} \cos{\left (\frac{x}{8} \right )}$

Первая производная

   7/x\    /x\
sin |-|*cos|-|
    \8/    \8/

$$\sin^{7}{\left (\frac{x}{8} \right )} \cos{\left (\frac{x}{8} \right )}$$

Вторая производная

   6/x\ /     2/x\        2/x\\
sin |-|*|- sin |-| + 7*cos |-||
    \8/ \      \8/         \8//
-------------------------------
               8               

$$\frac{1}{8} \left(- \sin^{2}{\left (\frac{x}{8} \right )} + 7 \cos^{2}{\left (\frac{x}{8} \right )}\right) \sin^{6}{\left (\frac{x}{8} \right )}$$

Третья производная

   5/x\ /        2/x\         2/x\\    /x\
sin |-|*|- 11*sin |-| + 21*cos |-||*cos|-|
    \8/ \         \8/          \8//    \8/
------------------------------------------
                    32                    

$$\frac{1}{32} \left(- 11 \sin^{2}{\left (\frac{x}{8} \right )} + 21 \cos^{2}{\left (\frac{x}{8} \right )}\right) \sin^{5}{\left (\frac{x}{8} \right )} \cos{\left (\frac{x}{8} \right )}$$