Производная sin(x)/x-cos(x)

Вы ввели

sin(x)         
------ - cos(x)
  x            

$$- \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{x} \sin{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. дифференцируем $- \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{x} \sin{\left (x \right )}$ почленно:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

      $f{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = x$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{1}{x^{2}} \left(x \cos{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )}\right)$

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

      Таким образом, в результате: $\sin{\left (x \right )}$

   В результате: $\sin{\left (x \right )} + \frac{1}{x^{2}} \left(x \cos{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\sin{\left (x \right )} + \frac{1}{x} \cos{\left (x \right )} - \frac{1}{x^{2}} \sin{\left (x \right )}$

---

Ответ:

$\sin{\left (x \right )} + \frac{1}{x} \cos{\left (x \right )} - \frac{1}{x^{2}} \sin{\left (x \right )}$

Первая производная

cos(x)   sin(x)         
------ - ------ + sin(x)
  x         2           
           x            

$$\sin{\left (x \right )} + \frac{1}{x} \cos{\left (x \right )} - \frac{1}{x^{2}} \sin{\left (x \right )}$$

Вторая производная

  sin(x)   2*cos(x)   2*sin(x)         
- ------ - -------- + -------- + cos(x)
    x          2          3            
              x          x             

$$\cos{\left (x \right )} - \frac{1}{x} \sin{\left (x \right )} - \frac{2}{x^{2}} \cos{\left (x \right )} + \frac{2}{x^{3}} \sin{\left (x \right )}$$

Третья производная

          cos(x)   6*sin(x)   3*sin(x)   6*cos(x)
-sin(x) - ------ - -------- + -------- + --------
            x          4          2          3   
                      x          x          x    

$$- \sin{\left (x \right )} - \frac{1}{x} \cos{\left (x \right )} + \frac{3}{x^{2}} \sin{\left (x \right )} + \frac{6}{x^{3}} \cos{\left (x \right )} - \frac{6}{x^{4}} \sin{\left (x \right )}$$