Производная sin(x)/(x+1)

Вы ввели

sin(x)
------
x + 1 

$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{x + 1}$$

d /sin(x)\
--|------|
dx\x + 1 /

$$\frac{d}{d x} \frac{\sin{\left(x \right)}}{x + 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = x + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      В результате: $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{\left(x + 1\right) \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{\left(x + 1\right) \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}}$

Первая производная

cos(x)    sin(x) 
------ - --------
x + 1           2
         (x + 1) 

$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{x + 1} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

          2*cos(x)   2*sin(x)
-sin(x) - -------- + --------
           1 + x            2
                     (1 + x) 
-----------------------------
            1 + x            

$$\frac{- \sin{\left(x \right)} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x + 1} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}}}{x + 1}$$

Третья производная

          6*sin(x)   3*sin(x)   6*cos(x)
-cos(x) - -------- + -------- + --------
                 3    1 + x            2
          (1 + x)               (1 + x) 
----------------------------------------
                 1 + x                  

$$\frac{- \cos{\left(x \right)} + \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{x + 1} + \frac{6 \cos{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{6 \sin{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right)^{3}}}{x + 1}$$

График