Производная sin(x)*a^x

Вы ввели

        x
sin(x)*a 

$$a^{x} \sin{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

   $g{\left (x \right )} = a^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. $\frac{\partial}{\partial x} a^{x} = a^{x} \log{\left (a \right )}$

   В результате: $a^{x} \log{\left (a \right )} \sin{\left (x \right )} + a^{x} \cos{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $a^{x} \left(\log{\left (a \right )} \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)$

---

Ответ:

$a^{x} \left(\log{\left (a \right )} \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)$

Первая производная

 x           x              
a *cos(x) + a *log(a)*sin(x)

$$a^{x} \log{\left (a \right )} \sin{\left (x \right )} + a^{x} \cos{\left (x \right )}$$

Вторая производная

 x /             2                            \
a *\-sin(x) + log (a)*sin(x) + 2*cos(x)*log(a)/

$$a^{x} \left(\log^{2}{\left (a \right )} \sin{\left (x \right )} + 2 \log{\left (a \right )} \cos{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )}\right)$$

Третья производная

 x /             3                                    2          \
a *\-cos(x) + log (a)*sin(x) - 3*log(a)*sin(x) + 3*log (a)*cos(x)/

$$a^{x} \left(\log^{3}{\left (a \right )} \sin{\left (x \right )} + 3 \log^{2}{\left (a \right )} \cos{\left (x \right )} - 3 \log{\left (a \right )} \sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}\right)$$