Производная sin(x)*log(cos(x))

Вы ввели

sin(x)*log(cos(x))

$$\log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} \sin{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

   $g{\left (x \right )} = \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \cos{\left (x \right )}$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}$

   В результате: $\log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} \cos{\left (x \right )} - \frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $\log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} \cos{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} - \frac{1}{\cos{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} \cos{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} - \frac{1}{\cos{\left (x \right )}}$

Первая производная

                        2   
                     sin (x)
cos(x)*log(cos(x)) - -------
                      cos(x)

$$\log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} \cos{\left (x \right )} - \frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

 /       2                 \       
 |    sin (x)              |       
-|3 + ------- + log(cos(x))|*sin(x)
 |       2                 |       
 \    cos (x)              /       

$$- \left(\log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} + \frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + 3\right) \sin{\left (x \right )}$$

Третья производная

 /                                     2           4   \
 |                                2*sin (x)   2*sin (x)|
-|3*cos(x) + cos(x)*log(cos(x)) + --------- + ---------|
 |                                  cos(x)        3    |
 \                                             cos (x) /

$$- \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} \cos{\left (x \right )} + \frac{2 \sin^{4}{\left (x \right )}}{\cos^{3}{\left (x \right )}} + \frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} + 3 \cos{\left (x \right )}$$