Производная sin(x)*log(7*x)

Вы ввели

sin(x)*log(7*x)

$$\log{\left(7 x \right)} \sin{\left(x \right)}$$

d                  
--(sin(x)*log(7*x))
dx                 

$$\frac{d}{d x} \log{\left(7 x \right)} \sin{\left(x \right)}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

   $g{\left(x \right)} = \log{\left(7 x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = 7 x$.

   2. Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 7 x$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $7$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{1}{x}$

   В результате: $\log{\left(7 x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}$

---

Ответ:

$\log{\left(7 x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}$

Первая производная

sin(x)                  
------ + cos(x)*log(7*x)
  x                     

$$\log{\left(7 x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}$$

Вторая производная

  sin(x)                     2*cos(x)
- ------ - log(7*x)*sin(x) + --------
     2                          x    
    x                                

$$- \log{\left(7 x \right)} \sin{\left(x \right)} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{2}}$$

Третья производная

                   3*sin(x)   3*cos(x)   2*sin(x)
-cos(x)*log(7*x) - -------- - -------- + --------
                      x           2          3   
                                 x          x    

$$- \log{\left(7 x \right)} \cos{\left(x \right)} - \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{x} - \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x^{3}}$$

График