Производная sin(x^2)/x

Вы ввели

   / 2\
sin\x /
-------
   x   

$$\frac{1}{x} \sin{\left (x^{2} \right )}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \sin{\left (x^{2} \right )}$ и $g{\left (x \right )} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = x^{2}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} x^{2}$:

      1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      В результате последовательности правил:

      $2 x \cos{\left (x^{2} \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(2 x^{2} \cos{\left (x^{2} \right )} - \sin{\left (x^{2} \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $2 \cos{\left (x^{2} \right )} - \frac{1}{x^{2}} \sin{\left (x^{2} \right )}$

---

Ответ:

$2 \cos{\left (x^{2} \right )} - \frac{1}{x^{2}} \sin{\left (x^{2} \right )}$

Первая производная

               / 2\
     / 2\   sin\x /
2*cos\x / - -------
                2  
               x   

$$2 \cos{\left (x^{2} \right )} - \frac{1}{x^{2}} \sin{\left (x^{2} \right )}$$

Вторая производная

  /   / 2\      / 2\              \
  |sin\x /   cos\x /          / 2\|
2*|------- - ------- - 2*x*sin\x /|
  |    3        x                 |
  \   x                           /

$$2 \left(- 2 x \sin{\left (x^{2} \right )} - \frac{1}{x} \cos{\left (x^{2} \right )} + \frac{1}{x^{3}} \sin{\left (x^{2} \right )}\right)$$

Третья производная

  /                      / 2\        / 2\\
  |     2    / 2\   3*sin\x /   3*cos\x /|
2*|- 4*x *cos\x / - --------- + ---------|
  |                      4           2   |
  \                     x           x    /

$$2 \left(- 4 x^{2} \cos{\left (x^{2} \right )} + \frac{3}{x^{2}} \cos{\left (x^{2} \right )} - \frac{3}{x^{4}} \sin{\left (x^{2} \right )}\right)$$