Производная sin(x)^(28)-cos(x)^(28)

Вы ввели

   28         28   
sin  (x) - cos  (x)

$$\sin^{28}{\left (x \right )} - \cos^{28}{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. дифференцируем $\sin^{28}{\left (x \right )} - \cos^{28}{\left (x \right )}$ почленно:

   1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{28}$ получим $28 u^{27}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $28 \sin^{27}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$

   4. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = \cos{\left (x \right )}$.

      2. В силу правила, применим: $u^{28}$ получим $28 u^{27}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )}$:

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

         В результате последовательности правил:

         $- 28 \sin{\left (x \right )} \cos^{27}{\left (x \right )}$

      Таким образом, в результате: $28 \sin{\left (x \right )} \cos^{27}{\left (x \right )}$

   В результате: $28 \sin^{27}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + 28 \sin{\left (x \right )} \cos^{27}{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $28 \left(\sin^{26}{\left (x \right )} + \cos^{26}{\left (x \right )}\right) \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$

---

Ответ:

$28 \left(\sin^{26}{\left (x \right )} + \cos^{26}{\left (x \right )}\right) \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$

Первая производная

      27                   27          
28*cos  (x)*sin(x) + 28*sin  (x)*cos(x)

$$28 \sin^{27}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + 28 \sin{\left (x \right )} \cos^{27}{\left (x \right )}$$

Вторая производная

   /   28         28            26       2            2       26   \
28*\cos  (x) - sin  (x) - 27*cos  (x)*sin (x) + 27*cos (x)*sin  (x)/

$$28 \left(- \sin^{28}{\left (x \right )} + 27 \sin^{26}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} - 27 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos^{26}{\left (x \right )} + \cos^{28}{\left (x \right )}\right)$$

Третья производная

   /        26            26             2       24             24       2   \              
56*\- 41*cos  (x) - 41*sin  (x) + 351*cos (x)*sin  (x) + 351*cos  (x)*sin (x)/*cos(x)*sin(x)

$$56 \left(- 41 \sin^{26}{\left (x \right )} + 351 \sin^{24}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} + 351 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos^{24}{\left (x \right )} - 41 \cos^{26}{\left (x \right )}\right) \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$$