Производная sin(x)^-2

Вы ввели

   1   
-------
   2   
sin (x)

$$\frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$

d /   1   \
--|-------|
dx|   2   |
  \sin (x)/

$$\frac{d}{d x} \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin{\left(x \right)}$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u^{2}}$ получим $- \frac{2}{u^{3}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}$

---

Ответ:

$- \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}$

Первая производная

-2*cos(x)
---------
    3    
 sin (x) 

$$- \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}$$

Вторая производная

  /         2   \
  |    3*cos (x)|
2*|1 + ---------|
  |        2    |
  \     sin (x) /
-----------------
        2        
     sin (x)     

$$\frac{2 \cdot \left(1 + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right)}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$

Третья производная

   /         2   \       
   |    3*cos (x)|       
-8*|2 + ---------|*cos(x)
   |        2    |       
   \     sin (x) /       
-------------------------
            3            
         sin (x)         

$$- \frac{8 \cdot \left(2 + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}$$

График