Производная sin(x^n)

Вы ввели

   / n\
sin\x /

$$\sin{\left (x^{n} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = x^{n}$.

2. Производная синуса есть косинус:

   $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{\partial}{\partial x} x^{n}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{n}$ получим $\frac{n x^{n}}{x}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{n x^{n}}{x} \cos{\left (x^{n} \right )}$

4. Теперь упростим:

   $n x^{n - 1} \cos{\left (x^{n} \right )}$

---

Ответ:

$n x^{n - 1} \cos{\left (x^{n} \right )}$

Первая производная

   n    / n\
n*x *cos\x /
------------
     x      

$$\frac{n x^{n}}{x} \cos{\left (x^{n} \right )}$$

Вторая производная

   n /     / n\        / n\      n    / n\\
n*x *\- cos\x / + n*cos\x / - n*x *sin\x //
-------------------------------------------
                      2                    
                     x                     

$$\frac{n x^{n}}{x^{2}} \left(- n x^{n} \sin{\left (x^{n} \right )} + n \cos{\left (x^{n} \right )} - \cos{\left (x^{n} \right )}\right)$$

Третья производная

   n /     / n\    2    / n\          / n\    2  2*n    / n\      2  n    / n\        n    / n\\
n*x *\2*cos\x / + n *cos\x / - 3*n*cos\x / - n *x   *cos\x / - 3*n *x *sin\x / + 3*n*x *sin\x //
------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                3                                               
                                               x                                                

$$\frac{n x^{n}}{x^{3}} \left(- n^{2} x^{2 n} \cos{\left (x^{n} \right )} - 3 n^{2} x^{n} \sin{\left (x^{n} \right )} + n^{2} \cos{\left (x^{n} \right )} + 3 n x^{n} \sin{\left (x^{n} \right )} - 3 n \cos{\left (x^{n} \right )} + 2 \cos{\left (x^{n} \right )}\right)$$