Производная sin(x^(1/2))

Вы ввели

   /  ___\
sin\\/ x /

$$\sin{\left (\sqrt{x} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sqrt{x}$.

2. Производная синуса есть косинус:

   $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sqrt{x}$:

   1. В силу правила, применим: $\sqrt{x}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{\cos{\left (\sqrt{x} \right )}}{2 \sqrt{x}}$

---

Ответ:

$\frac{\cos{\left (\sqrt{x} \right )}}{2 \sqrt{x}}$

Первая производная

   /  ___\
cos\\/ x /
----------
     ___  
 2*\/ x   

$$\frac{\cos{\left (\sqrt{x} \right )}}{2 \sqrt{x}}$$

Вторая производная

 /   /  ___\      /  ___\\ 
 |sin\\/ x /   cos\\/ x /| 
-|---------- + ----------| 
 |    x            3/2   | 
 \                x      / 
---------------------------
             4             

$$- \frac{1}{4} \left(\frac{1}{x} \sin{\left (\sqrt{x} \right )} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cos{\left (\sqrt{x} \right )}\right)$$

Третья производная

     /  ___\        /  ___\        /  ___\
  cos\\/ x /   3*sin\\/ x /   3*cos\\/ x /
- ---------- + ------------ + ------------
      3/2            2             5/2    
     x              x             x       
------------------------------------------
                    8                     

$$\frac{1}{8} \left(\frac{3}{x^{2}} \sin{\left (\sqrt{x} \right )} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cos{\left (\sqrt{x} \right )} + \frac{3}{x^{\frac{5}{2}}} \cos{\left (\sqrt{x} \right )}\right)$$