Производная (sin(x))^(1/3)

Вы ввели

3 ________
\/ sin(x) 

$$\sqrt[3]{\sin{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )}$.

2. В силу правила, применим: $\sqrt[3]{u}$ получим $\frac{1}{3 u^{\frac{2}{3}}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{\cos{\left (x \right )}}{3 \sin^{\frac{2}{3}}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{\cos{\left (x \right )}}{3 \sin^{\frac{2}{3}}{\left (x \right )}}$

Первая производная

   cos(x)  
-----------
     2/3   
3*sin   (x)

$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{3 \sin^{\frac{2}{3}}{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

 /                    2   \ 
 |  3 ________   2*cos (x)| 
-|3*\/ sin(x)  + ---------| 
 |                  5/3   | 
 \               sin   (x)/ 
----------------------------
             9              

$$- \frac{1}{9} \left(3 \sqrt[3]{\sin{\left (x \right )}} + \frac{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{\frac{5}{3}}{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

/          2   \       
|    10*cos (x)|       
|9 + ----------|*cos(x)
|        2     |       
\     sin (x)  /       
-----------------------
            2/3        
      27*sin   (x)     

$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{27 \sin^{\frac{2}{3}}{\left (x \right )}} \left(9 + \frac{10 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right)$$