Производная (sin(x)^5)*x

Вы ввели

   5     
sin (x)*x

$$x \sin^{5}{\left(x \right)}$$

d /   5     \
--\sin (x)*x/
dx           

$$\frac{d}{d x} x \sin^{5}{\left(x \right)}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \sin^{5}{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left(x \right)}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{5}$ получим $5 u^{4}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      В результате последовательности правил:

      $5 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   $g{\left(x \right)} = x$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   В результате: $5 x \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin^{5}{\left(x \right)}$

2. Теперь упростим:

   $\left(5 x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) \sin^{4}{\left(x \right)}$

---

Ответ:

$\left(5 x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) \sin^{4}{\left(x \right)}$

Первая производная

   5             4          
sin (x) + 5*x*sin (x)*cos(x)

$$5 x \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin^{5}{\left(x \right)}$$

Вторая производная

     3    /    /   2           2   \                  \
5*sin (x)*\- x*\sin (x) - 4*cos (x)/ + 2*cos(x)*sin(x)/

$$5 \left(- x \left(\sin^{2}{\left(x \right)} - 4 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) + 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) \sin^{3}{\left(x \right)}$$

Третья производная

      2    /  /   2           2   \            /        2            2   \       \
-5*sin (x)*\3*\sin (x) - 4*cos (x)/*sin(x) + x*\- 12*cos (x) + 13*sin (x)/*cos(x)/

$$- 5 \left(x \left(13 \sin^{2}{\left(x \right)} - 12 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} + 3 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} - 4 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(x \right)}$$

График