Производная t/e^t

Вы ввели

t 
--
 t
E 

$$\frac{t}{e^{t}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d t}\left(\frac{f{\left (t \right )}}{g{\left (t \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (t \right )}} \left(- f{\left (t \right )} \frac{d}{d t} g{\left (t \right )} + g{\left (t \right )} \frac{d}{d t} f{\left (t \right )}\right)$

   $f{\left (t \right )} = t$ и $g{\left (t \right )} = e^{t}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d t} f{\left (t \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $t$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d t} g{\left (t \right )}$:

   1. Производная $e^{t}$ само оно.

   Теперь применим правило производной деления:

   $\left(- t e^{t} + e^{t}\right) e^{- 2 t}$

2. Теперь упростим:

   $\left(- t + 1\right) e^{- t}$

---

Ответ:

$\left(- t + 1\right) e^{- t}$

Первая производная

1       -t
-- - t*e  
 t        
E         

$$- t e^{- t} + \frac{1}{e^{t}}$$

Вторая производная

          -t
(-2 + t)*e  

$$\left(t - 2\right) e^{- t}$$

Третья производная

         -t
(3 - t)*e  

$$\left(- t + 3\right) e^{- t}$$