Производная t/(1+t)

Вы ввели

  t  
-----
1 + t

$$\frac{t}{t + 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d t}\left(\frac{f{\left (t \right )}}{g{\left (t \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (t \right )}} \left(- f{\left (t \right )} \frac{d}{d t} g{\left (t \right )} + g{\left (t \right )} \frac{d}{d t} f{\left (t \right )}\right)$

   $f{\left (t \right )} = t$ и $g{\left (t \right )} = t + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d t} f{\left (t \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $t$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d t} g{\left (t \right )}$:

   1. дифференцируем $t + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $t$ получим $1$

      В результате: $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(t + 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{\left(t + 1\right)^{2}}$

Первая производная

  1        t    
----- - --------
1 + t          2
        (1 + t) 

$$- \frac{t}{\left(t + 1\right)^{2}} + \frac{1}{t + 1}$$

Вторая производная

  /       t  \
2*|-1 + -----|
  \     1 + t/
--------------
          2   
   (1 + t)    

$$\frac{\frac{2 t}{t + 1} - 2}{\left(t + 1\right)^{2}}$$

Третья производная

  /      t  \
6*|1 - -----|
  \    1 + t/
-------------
          3  
   (1 + t)   

$$\frac{1}{\left(t + 1\right)^{3}} \left(- \frac{6 t}{t + 1} + 6\right)$$