Производная (t/(t+1))^2

Вы ввели

       2
/  t  \ 
|-----| 
\t + 1/ 

$$\left(\frac{t}{t + 1}\right)^{2}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{t}{t + 1}$.

2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d t}\left(\frac{t}{t + 1}\right)$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d t}\left(\frac{f{\left (t \right )}}{g{\left (t \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (t \right )}} \left(- f{\left (t \right )} \frac{d}{d t} g{\left (t \right )} + g{\left (t \right )} \frac{d}{d t} f{\left (t \right )}\right)$

      $f{\left (t \right )} = t$ и $g{\left (t \right )} = t + 1$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d t} f{\left (t \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $t$ получим $1$

      Чтобы найти $\frac{d}{d t} g{\left (t \right )}$:

      1. дифференцируем $t + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $t$ получим $1$

         В результате: $1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{1}{\left(t + 1\right)^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{2 t}{\left(t + 1\right) \left(t + 1\right)^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{2 t}{\left(t + 1\right)^{3}}$

---

Ответ:

$\frac{2 t}{\left(t + 1\right)^{3}}$

Первая производная

    2                              
   t             /  2       2*t   \
--------*(t + 1)*|----- - --------|
       2         |t + 1          2|
(t + 1)          \        (t + 1) /
-----------------------------------
                 t                 

$$\frac{t^{2}}{t} \frac{1}{t + 1} \left(- \frac{2 t}{\left(t + 1\right)^{2}} + \frac{2}{t + 1}\right)$$

Вторая производная

  /       t  \ /      3*t \
2*|-1 + -----|*|-1 + -----|
  \     1 + t/ \     1 + t/
---------------------------
                 2         
          (1 + t)          

$$\frac{2}{\left(t + 1\right)^{2}} \left(\frac{t}{t + 1} - 1\right) \left(\frac{3 t}{t + 1} - 1\right)$$

Третья производная

               /                                        2                          \
               |                            4*t      3*t                           |
               |                 t     1 - ----- + --------          t             |
               |          -1 + -----       1 + t          2   -1 + -----           |
  /       t  \ |    1          1 + t               (1 + t)         1 + t     2*t   |
4*|-1 + -----|*|- ----- - ---------- - -------------------- - ---------- - --------|
  \     1 + t/ |  1 + t       t                 t               1 + t             2|
               \                                                           (1 + t) /
------------------------------------------------------------------------------------
                                             2                                      
                                      (1 + t)                                       

$$\frac{4}{\left(t + 1\right)^{2}} \left(\frac{t}{t + 1} - 1\right) \left(- \frac{2 t}{\left(t + 1\right)^{2}} - \frac{\frac{t}{t + 1} - 1}{t + 1} - \frac{1}{t + 1} - \frac{1}{t} \left(\frac{t}{t + 1} - 1\right) - \frac{1}{t} \left(\frac{3 t^{2}}{\left(t + 1\right)^{2}} - \frac{4 t}{t + 1} + 1\right)\right)$$