Производная t*e^(2*t)

Вы ввели

   2*t
t*E   

$$e^{2 t} t$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d t}\left(f{\left (t \right )} g{\left (t \right )}\right) = f{\left (t \right )} \frac{d}{d t} g{\left (t \right )} + g{\left (t \right )} \frac{d}{d t} f{\left (t \right )}$

   $f{\left (t \right )} = t$; найдём $\frac{d}{d t} f{\left (t \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $t$ получим $1$

   $g{\left (t \right )} = e^{2 t}$; найдём $\frac{d}{d t} g{\left (t \right )}$:

   1. Заменим $u = 2 t$.

   2. Производная $e^{u}$ само оно.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d t}\left(2 t\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $t$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $2$

      В результате последовательности правил:

      $2 e^{2 t}$

   В результате: $2 t e^{2 t} + e^{2 t}$

2. Теперь упростим:

   $\left(2 t + 1\right) e^{2 t}$

---

Ответ:

$\left(2 t + 1\right) e^{2 t}$

Первая производная

 2*t        2*t
E    + 2*t*e   

$$2 t e^{2 t} + e^{2 t}$$

Вторая производная

           2*t
4*(1 + t)*e   

$$4 \left(t + 1\right) e^{2 t}$$

Третья производная

             2*t
4*(3 + 2*t)*e   

$$4 \left(2 t + 3\right) e^{2 t}$$