Производная t^2/(t-1)

Вы ввели

   2 
  t  
-----
t - 1

$$\frac{t^{2}}{t - 1}$$

  /   2 \
d |  t  |
--|-----|
dt\t - 1/

$$\frac{d}{d t} \frac{t^{2}}{t - 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d t} \frac{f{\left(t \right)}}{g{\left(t \right)}} = \frac{- f{\left(t \right)} \frac{d}{d t} g{\left(t \right)} + g{\left(t \right)} \frac{d}{d t} f{\left(t \right)}}{g^{2}{\left(t \right)}}$

   $f{\left(t \right)} = t^{2}$ и $g{\left(t \right)} = t - 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d t} f{\left(t \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $t^{2}$ получим $2 t$

   Чтобы найти $\frac{d}{d t} g{\left(t \right)}$:

   1. дифференцируем $t - 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $t$ получим $1$

      В результате: $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{- t^{2} + 2 t \left(t - 1\right)}{\left(t - 1\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{t \left(t - 2\right)}{\left(t - 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{t \left(t - 2\right)}{\left(t - 1\right)^{2}}$

Первая производная

      2           
     t        2*t 
- -------- + -----
         2   t - 1
  (t - 1)         

$$- \frac{t^{2}}{\left(t - 1\right)^{2}} + \frac{2 t}{t - 1}$$

Вторая производная

  /         2            \
  |        t        2*t  |
2*|1 + --------- - ------|
  |            2   -1 + t|
  \    (-1 + t)          /
--------------------------
          -1 + t          

$$\frac{2 \left(\frac{t^{2}}{\left(t - 1\right)^{2}} - \frac{2 t}{t - 1} + 1\right)}{t - 1}$$

Третья производная

  /          2            \
  |         t        2*t  |
6*|-1 - --------- + ------|
  |             2   -1 + t|
  \     (-1 + t)          /
---------------------------
                 2         
         (-1 + t)          

$$\frac{6 \left(- \frac{t^{2}}{\left(t - 1\right)^{2}} + \frac{2 t}{t - 1} - 1\right)}{\left(t - 1\right)^{2}}$$

График