Производная tan(pi*x)/2

Вы ввели

tan(pi*x)
---------
    2    

$$\frac{\tan{\left(\pi x \right)}}{2}$$

d /tan(pi*x)\
--|---------|
dx\    2    /

$$\frac{d}{d x} \frac{\tan{\left(\pi x \right)}}{2}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      $\tan{\left(\pi x \right)} = \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\cos{\left(\pi x \right)}}$

   2. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = \pi x$.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \pi x$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $\pi$

         В результате последовательности правил:

         $\pi \cos{\left(\pi x \right)}$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = \pi x$.

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \pi x$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $\pi$

         В результате последовательности правил:

         $- \pi \sin{\left(\pi x \right)}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{\pi \sin^{2}{\left(\pi x \right)} + \pi \cos^{2}{\left(\pi x \right)}}{\cos^{2}{\left(\pi x \right)}}$

   Таким образом, в результате: $\frac{\pi \sin^{2}{\left(\pi x \right)} + \pi \cos^{2}{\left(\pi x \right)}}{2 \cos^{2}{\left(\pi x \right)}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{\pi}{2 \cos^{2}{\left(\pi x \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{\pi}{2 \cos^{2}{\left(\pi x \right)}}$

Первая производная

   /       2      \
pi*\1 + tan (pi*x)/
-------------------
         2         

$$\frac{\pi \left(\tan^{2}{\left(\pi x \right)} + 1\right)}{2}$$

Вторая производная

  2 /       2      \          
pi *\1 + tan (pi*x)/*tan(pi*x)

$$\pi^{2} \left(\tan^{2}{\left(\pi x \right)} + 1\right) \tan{\left(\pi x \right)}$$

Третья производная

  3 /       2      \ /         2      \
pi *\1 + tan (pi*x)/*\1 + 3*tan (pi*x)/

$$\pi^{3} \left(\tan^{2}{\left(\pi x \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(\pi x \right)} + 1\right)$$

График