Производная tan(2/x)^(-1)

Вы ввели

  1   
------
   /2\
tan|-|
   \x/

$$\frac{1}{\tan{\left (\frac{2}{x} \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan{\left (\frac{2}{x} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left (\frac{2}{x} \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = \frac{2}{x}$.

      2. $\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{2}{x}\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

            Таким образом, в результате: $- \frac{2}{x^{2}}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{2}{x^{2} \cos^{2}{\left (\frac{2}{x} \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{- \frac{2}{x^{2}} \sin^{2}{\left (\frac{2}{x} \right )} - \frac{2}{x^{2}} \cos^{2}{\left (\frac{2}{x} \right )}}{\cos^{2}{\left (\frac{2}{x} \right )} \tan^{2}{\left (\frac{2}{x} \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{4}{x^{2} \left(- \cos{\left (\frac{4}{x} \right )} + 1\right)}$

---

Ответ:

$\frac{4}{x^{2} \left(- \cos{\left (\frac{4}{x} \right )} + 1\right)}$

Первая производная

  /       2/2\\
2*|1 + tan |-||
  \        \x//
---------------
    2    2/2\  
   x *tan |-|  
          \x/  

$$\frac{2 \tan^{2}{\left (\frac{2}{x} \right )} + 2}{x^{2} \tan^{2}{\left (\frac{2}{x} \right )}}$$

Вторая производная

                /                 /       2/2\\\
                |               2*|1 + tan |-|||
  /       2/2\\ |    1      2     \        \x//|
4*|1 + tan |-||*|- ------ - - + ---------------|
  \        \x// |     /2\   x           2/2\   |
                |  tan|-|          x*tan |-|   |
                \     \x/                \x/   /
------------------------------------------------
                    3    /2\                    
                   x *tan|-|                    
                         \x/                    

$$\frac{4}{x^{3} \tan{\left (\frac{2}{x} \right )}} \left(\tan^{2}{\left (\frac{2}{x} \right )} + 1\right) \left(- \frac{1}{\tan{\left (\frac{2}{x} \right )}} + \frac{2 \tan^{2}{\left (\frac{2}{x} \right )} + 2}{x \tan^{2}{\left (\frac{2}{x} \right )}} - \frac{2}{x}\right)$$

Третья производная

                /                                                                                2\
                |                             /       2/2\\      /       2/2\\      /       2/2\\ |
                |                          20*|1 + tan |-||   12*|1 + tan |-||   12*|1 + tan |-|| |
  /       2/2\\ |   3      8       12         \        \x//      \        \x//      \        \x// |
4*|1 + tan |-||*|------- + -- + -------- - ---------------- - ---------------- + -----------------|
  \        \x// |   2/2\    2        /2\       2    2/2\              3/2\            2    4/2\   |
                |tan |-|   x    x*tan|-|      x *tan |-|         x*tan |-|           x *tan |-|   |
                \    \x/             \x/             \x/               \x/                  \x/   /
---------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                  4                                                
                                                 x                                                 

$$\frac{4}{x^{4}} \left(\tan^{2}{\left (\frac{2}{x} \right )} + 1\right) \left(\frac{3}{\tan^{2}{\left (\frac{2}{x} \right )}} - \frac{12 \tan^{2}{\left (\frac{2}{x} \right )} + 12}{x \tan^{3}{\left (\frac{2}{x} \right )}} + \frac{12}{x \tan{\left (\frac{2}{x} \right )}} + \frac{12 \left(\tan^{2}{\left (\frac{2}{x} \right )} + 1\right)^{2}}{x^{2} \tan^{4}{\left (\frac{2}{x} \right )}} - \frac{20 \tan^{2}{\left (\frac{2}{x} \right )} + 20}{x^{2} \tan^{2}{\left (\frac{2}{x} \right )}} + \frac{8}{x^{2}}\right)$$