Производная tan(2/z)

Вы ввели

   /2\
tan|-|
   \z/

$$\tan{\left (\frac{2}{z} \right )}$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

   Один из способов:

   1. Заменим $u = \frac{2}{z}$.

   2. $\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d z}\left(\frac{2}{z}\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $\frac{1}{z}$ получим $- \frac{1}{z^{2}}$

         Таким образом, в результате: $- \frac{2}{z^{2}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{2}{z^{2} \cos^{2}{\left (\frac{2}{z} \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{2}{z^{2} \cos^{2}{\left (\frac{2}{z} \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{2}{z^{2} \cos^{2}{\left (\frac{2}{z} \right )}}$

Первая производная

   /       2/2\\
-2*|1 + tan |-||
   \        \z//
----------------
        2       
       z        

$$- \frac{1}{z^{2}} \left(2 \tan^{2}{\left (\frac{2}{z} \right )} + 2\right)$$

Вторая производная

                /         /2\\
                |    2*tan|-||
  /       2/2\\ |         \z/|
4*|1 + tan |-||*|1 + --------|
  \        \z// \       z    /
------------------------------
               3              
              z               

$$\frac{4}{z^{3}} \left(1 + \frac{2}{z} \tan{\left (\frac{2}{z} \right )}\right) \left(\tan^{2}{\left (\frac{2}{z} \right )} + 1\right)$$

Третья производная

                 /      /       2/2\\        2/2\         /2\\
                 |    4*|1 + tan |-||   8*tan |-|   12*tan|-||
   /       2/2\\ |      \        \z//         \z/         \z/|
-4*|1 + tan |-||*|3 + --------------- + --------- + ---------|
   \        \z// |            2              2          z    |
                 \           z              z                /
--------------------------------------------------------------
                               4                              
                              z                               

$$- \frac{4}{z^{4}} \left(\tan^{2}{\left (\frac{2}{z} \right )} + 1\right) \left(3 + \frac{12}{z} \tan{\left (\frac{2}{z} \right )} + \frac{1}{z^{2}} \left(4 \tan^{2}{\left (\frac{2}{z} \right )} + 4\right) + \frac{8}{z^{2}} \tan^{2}{\left (\frac{2}{z} \right )}\right)$$