Производная tan(2*x)/x

Вы ввели

tan(2*x)
--------
   x    

$$\frac{1}{x} \tan{\left (2 x \right )}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \tan{\left (2 x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = 2 x$.

      2. $\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(2 x\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $2$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{2}{\cos^{2}{\left (2 x \right )}}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(\frac{x}{\cos^{2}{\left (2 x \right )}} \left(2 \sin^{2}{\left (2 x \right )} + 2 \cos^{2}{\left (2 x \right )}\right) - \tan{\left (2 x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{4 x - \sin{\left (4 x \right )}}{x^{2} \left(\cos{\left (4 x \right )} + 1\right)}$

---

Ответ:

$\frac{4 x - \sin{\left (4 x \right )}}{x^{2} \left(\cos{\left (4 x \right )} + 1\right)}$

Первая производная

         2                
2 + 2*tan (2*x)   tan(2*x)
--------------- - --------
       x              2   
                     x    

$$\frac{1}{x} \left(2 \tan^{2}{\left (2 x \right )} + 2\right) - \frac{1}{x^{2}} \tan{\left (2 x \right )}$$

Вторая производная

  /             /       2     \                             \
  |tan(2*x)   2*\1 + tan (2*x)/     /       2     \         |
2*|-------- - ----------------- + 4*\1 + tan (2*x)/*tan(2*x)|
  |    2              x                                     |
  \   x                                                     /
-------------------------------------------------------------
                              x                              

$$\frac{1}{x} \left(8 \left(\tan^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right) \tan{\left (2 x \right )} - \frac{1}{x} \left(4 \tan^{2}{\left (2 x \right )} + 4\right) + \frac{2}{x^{2}} \tan{\left (2 x \right )}\right)$$

Третья производная

  /                 2                  /       2     \                                     /       2     \         \
  |  /       2     \    3*tan(2*x)   6*\1 + tan (2*x)/         2      /       2     \   12*\1 + tan (2*x)/*tan(2*x)|
2*|8*\1 + tan (2*x)/  - ---------- + ----------------- + 16*tan (2*x)*\1 + tan (2*x)/ - ---------------------------|
  |                          3                2                                                      x             |
  \                         x                x                                                                     /
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                         x                                                          

$$\frac{1}{x} \left(16 \left(\tan^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right)^{2} + 32 \left(\tan^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (2 x \right )} - \frac{24}{x} \left(\tan^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right) \tan{\left (2 x \right )} + \frac{1}{x^{2}} \left(12 \tan^{2}{\left (2 x \right )} + 12\right) - \frac{6}{x^{3}} \tan{\left (2 x \right )}\right)$$