Производная tan(sqrt(x))

Вы ввели

   /  ___\
tan\\/ x /

$$\tan{\left(\sqrt{x} \right)}$$

d /   /  ___\\
--\tan\\/ x //
dx            

$$\frac{d}{d x} \tan{\left(\sqrt{x} \right)}$$

Подробное решение

1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

   $\tan{\left(\sqrt{x} \right)} = \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}$

2. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\sqrt{x} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\sqrt{x} \right)}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \sqrt{x}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sqrt{x}$:

      1. В силу правила, применим: $\sqrt{x}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \sqrt{x}$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sqrt{x}$:

      1. В силу правила, применим: $\sqrt{x}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}} + \frac{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}}{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}$

3. Теперь упростим:

   $\frac{1}{2 \sqrt{x} \cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{2 \sqrt{x} \cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}$

Первая производная

       2/  ___\
1 + tan \\/ x /
---------------
        ___    
    2*\/ x     

$$\frac{\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1}{2 \sqrt{x}}$$

Вторая производная

                  /              /  ___\\
/       2/  ___\\ |   1     2*tan\\/ x /|
\1 + tan \\/ x //*|- ---- + ------------|
                  |   3/2        x      |
                  \  x                  /
-----------------------------------------
                    4                    

$$\frac{\left(\frac{2 \tan{\left(\sqrt{x} \right)}}{x} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right) \left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right)}{4}$$

Третья производная

                  /            /  ___\     /       2/  ___\\        2/  ___\\
/       2/  ___\\ | 3     6*tan\\/ x /   2*\1 + tan \\/ x //   4*tan \\/ x /|
\1 + tan \\/ x //*|---- - ------------ + ------------------- + -------------|
                  | 5/2         2                 3/2                3/2    |
                  \x           x                 x                  x       /
-----------------------------------------------------------------------------
                                      8                                      

$$\frac{\left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right) \left(- \frac{6 \tan{\left(\sqrt{x} \right)}}{x^{2}} + \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right)}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{x^{\frac{5}{2}}}\right)}{8}$$

График