Производная tan(log(x+3^x))

Вы ввели

   /   /     x\\
tan\log\x + 3 //

$$\tan{\left (\log{\left (3^{x} + x \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

   Один из способов:

   1. Заменим $u = \log{\left (3^{x} + x \right )}$.

   2. $\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (3^{x} + x \right )}$:

      1. Заменим $u = 3^{x} + x$.

      2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(3^{x} + x\right)$:

         1. дифференцируем $3^{x} + x$ почленно:

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            2. $\frac{d}{d x} 3^{x} = 3^{x} \log{\left (3 \right )}$

            В результате: $3^{x} \log{\left (3 \right )} + 1$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{1}{3^{x} + x} \left(3^{x} \log{\left (3 \right )} + 1\right)$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{3^{x} \log{\left (3 \right )} + 1}{\left(3^{x} + x\right) \cos^{2}{\left (\log{\left (3^{x} + x \right )} \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{3^{x} \log{\left (3 \right )} + 1}{\left(3^{x} + x\right) \cos^{2}{\left (\log{\left (3^{x} + x \right )} \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{3^{x} \log{\left (3 \right )} + 1}{\left(3^{x} + x\right) \cos^{2}{\left (\log{\left (3^{x} + x \right )} \right )}}$

Первая производная

/       2/   /     x\\\ /     x       \
\1 + tan \log\x + 3 ///*\1 + 3 *log(3)/
---------------------------------------
                      x                
                 x + 3                 

$$\frac{1}{3^{x} + x} \left(3^{x} \log{\left (3 \right )} + 1\right) \left(\tan^{2}{\left (\log{\left (3^{x} + x \right )} \right )} + 1\right)$$

Вторая производная

                        /                            2                    2                 \
                        |             /     x       \      /     x       \     /   /     x\\|
/       2/   /     x\\\ | x    2      \1 + 3 *log(3)/    2*\1 + 3 *log(3)/ *tan\log\x + 3 //|
\1 + tan \log\x + 3 ///*|3 *log (3) - ---------------- + -----------------------------------|
                        |                       x                            x              |
                        \                  x + 3                        x + 3               /
---------------------------------------------------------------------------------------------
                                                 x                                           
                                            x + 3                                            

$$\frac{1}{3^{x} + x} \left(\tan^{2}{\left (\log{\left (3^{x} + x \right )} \right )} + 1\right) \left(3^{x} \log^{2}{\left (3 \right )} + \frac{2}{3^{x} + x} \left(3^{x} \log{\left (3 \right )} + 1\right)^{2} \tan{\left (\log{\left (3^{x} + x \right )} \right )} - \frac{1}{3^{x} + x} \left(3^{x} \log{\left (3 \right )} + 1\right)^{2}\right)$$

Третья производная

                        /                              3                    3                                     3                                            3                                                                                                 \
                        |               /     x       \      /     x       \     /   /     x\\     /     x       \  /       2/   /     x\\\     /     x       \     2/   /     x\\      x    2    /     x       \      x    2    /     x       \    /   /     x\\|
/       2/   /     x\\\ | x    3      2*\1 + 3 *log(3)/    6*\1 + 3 *log(3)/ *tan\log\x + 3 //   2*\1 + 3 *log(3)/ *\1 + tan \log\x + 3 ///   4*\1 + 3 *log(3)/ *tan \log\x + 3 //   3*3 *log (3)*\1 + 3 *log(3)/   6*3 *log (3)*\1 + 3 *log(3)/*tan\log\x + 3 //|
\1 + tan \log\x + 3 ///*|3 *log (3) + ------------------ - ----------------------------------- + ------------------------------------------ + ------------------------------------ - ---------------------------- + ---------------------------------------------|
                        |                         2                             2                                        2                                         2                                 x                                       x                   |
                        |                 /     x\                      /     x\                                 /     x\                                  /     x\                             x + 3                                   x + 3                    |
                        \                 \x + 3 /                      \x + 3 /                                 \x + 3 /                                  \x + 3 /                                                                                              /
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                   x                                                                                                                              
                                                                                                                              x + 3                                                                                                                               

$$\frac{1}{3^{x} + x} \left(\tan^{2}{\left (\log{\left (3^{x} + x \right )} \right )} + 1\right) \left(3^{x} \log^{3}{\left (3 \right )} + \frac{6 \cdot 3^{x}}{3^{x} + x} \left(3^{x} \log{\left (3 \right )} + 1\right) \log^{2}{\left (3 \right )} \tan{\left (\log{\left (3^{x} + x \right )} \right )} - \frac{3 \cdot 3^{x}}{3^{x} + x} \left(3^{x} \log{\left (3 \right )} + 1\right) \log^{2}{\left (3 \right )} + \frac{2}{\left(3^{x} + x\right)^{2}} \left(3^{x} \log{\left (3 \right )} + 1\right)^{3} \left(\tan^{2}{\left (\log{\left (3^{x} + x \right )} \right )} + 1\right) + \frac{4}{\left(3^{x} + x\right)^{2}} \left(3^{x} \log{\left (3 \right )} + 1\right)^{3} \tan^{2}{\left (\log{\left (3^{x} + x \right )} \right )} - \frac{6}{\left(3^{x} + x\right)^{2}} \left(3^{x} \log{\left (3 \right )} + 1\right)^{3} \tan{\left (\log{\left (3^{x} + x \right )} \right )} + \frac{2}{\left(3^{x} + x\right)^{2}} \left(3^{x} \log{\left (3 \right )} + 1\right)^{3}\right)$$